熱力學與最小作用量原理概論

前言

熱力學為許多優秀工程師們處理內燃機問題時所逐步建立的科學，熱力學與古典力學的連結除了些許假設外幾乎已無縫接軌[1]. 然而藉由量子論，兩者之間或另可構築一條順暢軌道予以連結，而構築此軌道的基石就是最小作用量原理。

古典力學與最小作用量原理

物含妙理總堪尋”。當樓頂上的鴿子飛降至鄰近較矮樓頂時，其飛行路徑通常並非直線， 而是近似一條最速滑降線[2]，如圖1（a）所示。無獨有偶的，當一顆鋼珠（粒子），自某個位勢頂端滑降，不計摩擦力，其路徑亦非直線，而是一條最小作用量路徑，如圖1（b）所示。

最小作用量原理就是漢彌爾頓（W. Hamilton, 1805-1865）原理，為求精準起見，茲以數學的語言描述最小作用量路徑，其型式如下[2]：

其中： ∫Ldt定義為作用量；L≣K-V稱為拉氏量，其中K≣m（速度）2/2=m[（dx/dt）2 +（dy/dt）2]/2為粒子動能，m為粒子質量；V≣V（x，y）為粒子所遭遇之位勢；x, y為二維空間直角座標，t為時間；積分上下限為t2及t1，分別為粒子運動的初始時間與終端時間；變分算符δ之作用乃是：當路徑偏離最小作用量路徑，其變分值大於零；當路徑為最小作用量路徑，其變分值等於零。依變分法，上式可轉化為歐勒（L. Euler， 1707-1783）拉格郎治（J. Lagrange， 1736-1813 ）方程式[2]：