應用曲線擬合技術於CNC插補器小線段路徑平滑化之研究

前言

NURBS 擬合技術被廣泛的應用在逆向建模，無論是掃描量測、醫學診斷或是製造流程等領域。擬合技術最重要的議題為精度，因為在擬合的過程中會產生過擬合的問題導致精度不佳。因此，如何提升 NURBS 曲線的擬合精度至今仍是一項挑戰。

NURBS 的擬合精度主要由控制點和節點向量決定，因此對其進行優化是一個關鍵技術。Piegl 和 Tiller [1] 提出了一種從離散數據計算控制點和節點向量的方法；然而，該方法並未納入考慮輪廓特徵或精度約束的優化方式。為了解決這個問題，有許多學者針對這部分進行研究。Li [2] 引入了一種基於 B-spline 的自適應節點布置方法，用於擬合密集和雜訊數據。該方法透過曲率積分識別曲率變化並確定節點位置。Park 和 Lee [3] 採用自適應數據分布策略，在曲率平滑的區域使用較少的數據點，同時將具有最大局部曲率的點指定為特徵點，隨後透過在高曲率變化區域加入額外的數據點來細化曲線。Liang 等人 [4] 透過計算弦誤差和曲率等幾何特徵來建立初始節點向量，接著使用節點插法對控制點進行優化，從而提高了擬合精度。Aguilar 等人 [5] 應用了自適應節點定位策略，透過動態調整節點位置來提高平滑度和精度。這些方式是基於幾何特徵增加或調整控制點個數改善擬合精度，但是，控制點數量的增加會提高計算複雜性並降低擬合效率。因此，確定達到指定精度閾值所需的最小控制點數量已成為一項關鍵的研究挑戰。

為優化計算效率，[6]-[8] 提出了最小二乘漸進迭代逼近（LSPIA）和幾何迭代法（GIM）。這些方法透過迭代優化曲線和曲面擬合的控制點，產生滿足所需精度標準的逼近結果。擬合曲線的精度可以透過基於輪廓誤差調整控制點位置來細化。由於每次迭代都利用前一步的數據，並且節點插入法允許在輪廓誤差過大的區域插入節點向量而無需額外的幾何特徵分析，因此可以在保持曲線形狀完整性的同時減少計算時間。此外，[9]-[11] 的研究進一步優化了 LSPIA 以提高計算效率和收斂速度。上述這些研究說明了 LSPIA 能有效地調整控制點位置以達到所需的擬合精度。

本文為了應對傳統單段擬合導致控制點過多和精度不足的限制，提出了一種幾何分段曲線擬合（Geometric Segmentation Curve Fitting, GSCF）方法。儘管分段技術已廣泛應用於 CNC 控制器速度規劃 [12]-[15]，但本文提出的標準與之截然不同，因為 CNC 控制器是基於加速度和加加速度參數進行分段，而本方法則依賴幾何標準進行評估。透過基於幾何特徵對路徑進行分段，可以生成更高精度的命令。因此，本文將分段技術引入到路徑逆向建模中。在完成分段後，採用 LSPIA 對控制點進行優化。這種方法保留了 LSPIA 的計算效率，同時透過分段策略增強了擬合精度，有效地提高了效率和精確度。

應用曲線擬合於小線段路徑平滑化開發

本文分成三個部分，第一部分介紹曲線擬合方法，簡介如何和透過路徑點計算曲線擬合所需參數，第二部分提出幾何分段方法，講述如何透過線段幾何進行分段，第三部分提供模擬和比較分析以驗證所提出方法的有效性。

1. 曲線擬合方式

本文透過 [1] 從離散點數據進行 NURBS 曲線擬合的逆向工程方法，該方法整合了整體擬合和近似擬合技術來確定節點向量和控制點。

NURBS 曲線的參數與定義：NURBS 曲線 C(u) 擬合方法包含五個參數：階次（p）、控制點（P）、節點向量（u）和權重（w），其中 n 為控制點的數量。NURBS 的數學表示如式 (1)。除了前面提及的四個參數之外，NURBS 的關鍵組成部分是基底函數（Ni,p(u)），其中 n 是控制點的數量。基底函數是透過 p 和 u 遞迴地計算出來，如式 (2) 至式 (3)。

全域擬合（Global fitting）：對 m 個離散數據點（Q）進行曲線擬合，必須先確定 P 和 u。在全域擬合中，n 等於離散點的數量 m。首先，藉由離散點的總長度（L）計算式 (4) 所示的比值，其中 k=1, ⋯, n-1。隨後，透過式 (5) 獲得節點參數。接著，這些參數被應用於式 (6) 計算 u。N 的計算方式如式 (3) 所示，其中 j=1, ⋯, n-p。透過將式 (3) 代入式 (7)，即可計算出控制點 P。最後，將計算出的 P 和 u 代入式 (1) 即可計算出 NURBS 曲線。

近似擬合（Approximate Fitting）：在近似擬合中 n 小於 m。全域擬合與近似擬合的差異在於 u 的計算。首先，使用式 (8) 確定 n...

DOI:10.30256/JIM.202603_(516).0005